第三章 刚体和流体的运动

3.1 刚体模型及其运动

固体和流体统称为连续体或连续介质。把他们分成物理无限小的体积元，质量为 ​dm，称为质量元，简称质元。
对于固态的物质，常应用刚体这个理想模型，刚体可以看作由无数个质元组成的一种特殊的质点系，无论它在多大的外力作用下，系统内任意两质元间的距离始终保持不变。
平动：刚体内任何一条给定的直线，在运动过程中始终保持其方向不变。
转动：刚体中各个质元在运动中都绕同一直线作圆周运动。
自由度：确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标的数目。

3.2 力矩、转动惯量、定轴转动定律

总力矩的量值等于几个力的力矩的代数和。
角速度矢量 ​\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}
对于一个定轴转动的刚体，定义转动惯量 ​\boldsymbol{J}

M_z = J \alpha = J \frac{d \omega}{dt}

上式表明，刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的大小成正比，并与转动惯量成反比。
转动惯量也可以写成积分形式

J = \int r^2 \, dm

3.3 定轴转动中的功能关系

力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分来表示，叫做力矩的功。

A=\sum_iA_i=\sum_i\int_{\theta_0}^\theta M_i\mathrm{d}\theta=\int_{\theta_0}^\theta\left(\sum_iM_i\right)\mathrm{d}\theta=\int_{\theta_0}^\theta M\mathrm{d}\theta

定轴转动的刚体动能为

E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}J\omega^{2}

刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，即

A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}M\mathrm{d}\theta=\int_{\omega_1}^{\omega_2}J\omega\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2

一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。

3.4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

刚体绕定轴 ​z 转动，则 ​z 方向角动量为

L_{z}=J\omega

用角动量改写力矩定义，得到用角动量陈述的定轴转动定律：刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率，用公式表达为

M_{z}=\frac{d\left(J\omega\right)}{dt}=\frac{dL_{z}}{dt}

积分形式的刚体对转轴的角动量定理为

\int_{t_{0}}^{t}M_{z}\mathrm{d}t=J\omega-\left(J\omega\right)_{0}

上式表明，定轴转动物体对轴的角动量的增量等于外力对该轴的力矩的冲量之和。当外力对给定轴的总力矩为零时，物体对该轴的角动量将保持不变，即对固定转轴的角动量守恒定律。如果转动系统由两个物体组成，则当系统内一个物体的角动量发生了改变，则另一物体的角动量必然有个与之等值异号的改变，从而使总角动量保持不变。