The Postulates a General Discussion

4.1 The Postulates

这一章是进入正题，但是比较不同的是，直接从量子力学四大公设开始说起。我个人看下来入门还是比较痛苦的，但是只要看完，就能搭起一个关于量子力学的框架出来。

先写经典力学的公设，也是四条，可以和量子力学对比看。

  1. The state of a particle at any give time is specified by the two variables ​x(t) and ​p(t), i.e., as a point in a two-dimensional phase space.

  2. Every dynamical variable ​\omega is a function of ​x and ​p\\: \omega=\omega(x, p).

  3. If the particle is in a state given by ​x and ​p, the measurement of the variable ​\omega will yield a value ​\omega(x, p).The state will remain unaffected.

  4. The state variables change with time according to Hamilton's equations:

    \dot{x}=\frac{\partial\mathscr{H}}{\partial p}
    \dot{p}=-\frac{\partial\mathscr{H}}{\partial x}

接下来是量子力学的四个公设

  1. The state of the particle is represented by a vector ​|\psi(t)\rang in a Hilbert space.
  2. The independent variables ​x and ​p of classical mechanics are representedby Hermitian operators ​X and ​P with the following matrix elements in the eigenbasis of ​X
\langle x|X|x^{\prime}\rangle=x\delta(x-x^{\prime})\\\langle x|P|x^{\prime}\rangle=-i\hbar\delta^{\prime}(x-x^{\prime})

The operators corresponding to dependent variables ​\omega(x,p) are given Hermitian operators

\Omega(X,P)=\omega(x\to X,p\to P)
  1. If the particle is in a state ​|\psi\rang measurement of the variable (corresponding to) ​\Omega will yield one of the eigenvalues ​\omega with probability ​P(\omega)\propto|\lang \omega|\psi\rang|^2 The state of the system will change from ​|\psi\rang to ​|\omega\rang as a result of the measurement.
  2. The state vector ​|\psi(t)\rang obeys the ​Schr\ddot{o}dinger\quad equation
i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle

where ​H(X,P)=\mathscr{H}(x\rightarrow X,p\rightarrow P) is the quantum Hamiltonian operator and ​\mathscr{H} is the Hamiltonian for the corresponding classical problem.

4.2. Discussion of Postulates I—III

The postulates (of classical and quantum mechanics) fall naturally into two sets: the first three, which tell us how the system is depicted at a given time, and the last, which specifies how this picture changes with time. We will confine our attention to the first three postulates in this section, leaving the fourth for the next.
前三组假设是在说在给定时间里如何描述系统，而最后一组假设描述了图景随时间的变化。因此我们先来看前三组假设。
量子力学与经典力学不同的是，经典力学用“点”来描述，而量子力学则是“波”。
如果粒子处于​|\psi\rangle态，那么我们可以用以下四个步骤来描述它：

  1. Construct the corresponding quantum operator ​\Omega=\omega(x\rightarrow X,p\rightarrow P), where ​X and ​P are the operators defined in postulate II.
    构造算子​|\Omega\rangle

  2. Find the orthonormal eigenvectors ​|\omega_i\rangle and eigenvalues ​\omega_i, of ​\Omega.
    求特征向量和特征值

  3. Expand ​|\psi\rangle in this basis:

    \mid\psi\rangle=\sum_i\mid\omega_i\rangle\langle\omega_i\mid\psi\rangle

    态可以展开。

  4. The probability ​P(\omega) that the result co will obtain is proportional to the modulus squared of the projection of ​I\psi\rangle along the eigenvector ​|\omega\rangle, that is ​P(\omega)\propto|\langle\omega|\psi\rangle|^2. In terms of the projection operator​\mathbb{P}_{\omega}=|\omega\rangle\langle\omega|,P(\omega)\propto|\langle\omega|\psi\rangle|^2=\langle\psi|\omega\rangle\langle\omega|\psi\rangle=\langle\psi|\mathbb{P}_\omega|\psi\rangle=\langle\psi|\mathbb{P}_\omega\mathbb{P}_\omega|\psi\rangle=\langle\mathbb{P}_\omega\psi|\mathbb{P}_\omega\psi\rangle.
    可以将得到特征向量​\omega的概率用投影算子写出来。
    在以上步骤中，我们要注意一些要点：

  5. 我们是在计算​\Omega的测量结果的概率，并且​\Omega的唯一可能值是特征值。并且由于​\Omega是厄米的，所以特征值也是实数。

  6. 我们对概率没有进行归一化，因此算出来的其实是相对概率，要想得到绝对概率，我们需要：

    P(\omega_i)=\frac{|\langle\omega_i|\psi\rangle|^2}{\sum_j|\langle\omega_j|\psi\rangle|^2}=\frac{|\langle\omega_i|\psi\rangle|^2}{\langle\psi|\psi\rangle}

    或者我们早点做这件事：

    \mid\psi^{\prime}\rangle=\frac{\mid\psi\rangle}{\langle\psi\mid\psi\rangle^{1/2}}

    那么我们就有

    P(\omega_i)=|\langle\omega_i|\psi^{\prime}\rangle|^2

  7. If ​|\psi\rangle is an eigenstate ​|\omega_i\rangle, the measurement of ​\Omega is guaranteed to yield the result ​|\omega_i\rangle,. A particle in such a state may be said to have a value ​\omega_i, for ​\Omega in the classical sense.如果处于本征态​|\omega_i\rangle，则测量结果一定是​\omega_i。

  8. 我们进行测量后得到的结果是概率的。这并不能在经典中找到对应。

  9. 这套规则对于不同的变量都是适用的。我们要提取信息需要做的就是算特征基，然后找到在特征基上的投影。

  10. 当我们要改变变量的时候，可以不是重新算一次而是进行变换：

    \langle\lambda_i\mid\psi\rangle=\sum_j\langle\lambda_i\mid\omega_j\rangle\langle\omega_j\mid\psi\rangle

    比如说当我们算出​x的情况后，又想知道​p，我们可以直接在​|\psi\rangle前面乘以​p的bar就行。

Returning to our main discussion, there are a few complications that could arise as one tries to carry out the steps 1-4. We discuss below the major ones and how they are to be surmounted.当我们真正按照步骤计算时，会遇到一些特殊情况。

  1. The Recipe ​\Omega=\omega(\rightarrow X, p\rightarrow P) Is Ambiguous. 例如如果​\omega=xp，我们不知道​\Omega是​XP还是​PX，因为经典意义上​xp和​px没有区别。这里我们姑且选择把他们加起来取平均值处理，也就是​\Omega=(XP+PX)/2。

  2. ​\Omega的维度可能是坍缩的。对于相同的两个特征向量​\omega=\omega_1=\omega_2，我们选择：

    P(\omega)=|\langle\omega,1\mid\psi\rangle|^2+|\langle\omega,2\mid\psi\rangle|^2

    也就是把两个加起来。我们可以类推出投影算子：

    \mathbb{P}_\omega=|\omega,1\rangle\langle\omega,1|+|\omega,2\rangle\langle\omega,2|

  3. 特征值可能是连续的。那么我们用积分号代替求和就好。而且，因为它是连续的，并且在每一个​x或者​p都有可能有概率存在，所以比起经典的情况而言，它可能需要无限多个量。

  4. ​\Omega没有经典对应物。电子自旋是一种无法用经典描述的运动。经典力学中不存在这样的自由度。

Collapse of the State Vector

Collapse：我们对一个态矢量进行测量后，它坍缩在一个本征态上。
One way to measure the momentum of the particle is by Compton scattering, in which a photon of definite momentum bounces off the particle.测量动量可以利用康普顿散射，即，使具有一定动量的光子从粒子上反弹。我们使得发出的光子的动量趋近于无穷小，就是一个理想的动量测量。但是无法做到理想的位置测量，The answer is that an ideal position measurement uses photons of infinitely high momentum (as we will see) while an ideal momentum measurement uses photons of infinitesimally low momentum (as we have seen)，因为理想的位置测量中光子动量应无限大，动量测量则相反。
那么测量要怎么用数学语言来表示呢：

|\psi\rangle\rightarrow=\frac{\mathbb{P}_\omega|\psi\rangle}{\langle\mathbb{P}_\omega\psi|\mathbb{P}_\omega\psi\rangle^{1/2}}

这里后面还写到了维度坍缩情况下的测量表达式。但是我瞅着没区别啊? 不知道用意何在。

特别注意的是，当态 ​|\psi\rangle 是未知的，并且 ​\omega 是简并的情况时，我们无法得知测量后的状态。我们只能知道它是特征空间中拥有简并值 ​\omega 的某个态。书中这里举了个例子。如果我们知道简并态的配比的话，就可以将最终的态写出来，如果不知道，我们只能像这样用未知数表示：

\mid\psi\rangle=\frac{\alpha|\omega, 1\rangle+\beta|\omega, 2\rangle}{(\alpha^{2}+\beta^{2})^{1/2}}

How to Test Quantum Theory

现在我们构建了量子理论，那我们要如何验证它是正确的呢。
对于经典理论，我们只需要测试一个就可以，因为它有确定的位置和动量。但是量子理论只能统计地测试。首先我们最好找一些没有简并态的同一已知变量，它们构成一个量子系综。然后我们需要大量地对其测量，最终统计一下得到的本征态，看看概率也是不是差不多。

Expectation Value

或许我们有时对单个的详细信息并不感兴趣？那么我们可以求期望值 ​\langle\Omega\rangle（这里 ​\Omega 是个变量）：

\langle\Omega\rangle=\sum_{i}P(\omega_{i})\omega_{i}=\sum_{i}|\langle\omega_{i}| \psi\rangle|^{2}\omega_{i}\\=\sum_{i} \langle\psi\mid\omega_{i}\rangle\langle\omega_{i}| \psi\rangle\omega_{i}

注意，此处 ​\sum_{i}|\omega_{i}\rangle\langle\omega_{i}|=I，并且根据本征值的特性有 ​\omega_{i}| \omega_{i}\rangle=\Omega| \omega_{i}\rangle。所以最后我们化解得到：

\langle\Omega\rangle=\langle\psi|\Omega|\psi\rangle

To calculate ​\langle\Omega\rangle, one need only be given the state vector and the operator ​\Omega (say as a column vector and a matrix, respectively, in some basis). There is no need to find the eigenvectors or eigenvalues of ​\Omega. 算期望值的时候我们并不需要特征向量和特征值。

The Uncertainty

算完期望我们再来算算标准差，也叫不确定性：

\Delta\Omega=\langle(\Omega-\langle\Omega\rangle)^{2}\rangle^{1/2}

离散的

(\Delta\Omega)^{2}=\sum_{i}P(\omega_{i})(\omega_{i}-\langle\Omega\rangle)^{2}

连续的

(\Delta\Omega)^2=\int P(\omega)(\omega-\langle\Omega\rangle)^2 d\omega

都是统计，所以我们也可以照着期望值来改写

\Delta\Omega=[\langle\psi|(\Omega-\langle\Omega\rangle)^{2}|\psi\rangle]^{1/2}

接下来我们来考虑连续测量多个变量的问题。

据说很重要但是好像没太搞懂具体怎么算等我找找其他参考就回来补充。

Compatible and Incompatible Variables

相容和不相容的变量。
我们可否设计一个二次筛选机制，and produce a state with well-defined values ​\omega and ​\lambda for two variables ​\Omega and ​\Lambda?
那一般是不可能的。因为每次测量都会导致态随机变为一个本征态，前一次测量后，再一次测量会改变第一次的状态，除非两个变量有相同的本征态：

\begin{array}{c}{\Omega|\omega\lambda\rangle=\omega|\omega\lambda\rangle}\\\\{\Lambda|\omega\lambda\rangle=\lambda|\omega\lambda\rangle}\\\end{array}

简单处理一下我们可以得到一个必要不充分条件：

(\Omega\Lambda-\Lambda\Omega )| \omega\lambda\rangle=0

可以看出，如果相容，则

​[\Omega,\Lambda]=0

，如果不相容，则 \ra

​[\Omega,\Lambda]

等于一个非零特征值。n

？等下为什么这个也叫特征值，而且为什么原文中还有 c 情况，笔者给整不会了。

最经典的一对就是 X 和 P，任何过滤 X 的尝试都会被随后过滤 P 的尝试破坏，也即海森堡测不准原理。

[X,P]=i\hbar

硬测的话也不是不行，g只是两次测量的前后顺序很重要，并且最后产生的状态只是第二个算子的本征态。

现在我们已经对不对易的情况作了部分讨论，那么如果是对易的情况呢？两个变量获得相同的态的概率是多少？
首先我们考虑没有简并态的情况。那么没什么好说的，第一次测量后，第二次测量并不会改变得到的态，因此我们只要使得第一次测量后的态就是我们想要的态就行，概率也只等于第一次测量的概率，并且两次测量无先后顺序差别。
但是如果存在简并态，情况就不同了，如果第一次测量由于简并而未对第二次测量的本征值有明确的结果，第二次测量中的态是会发生变化的。
这部分的具体举例可以参见书中例子（132 页）。
Complete set of commuting observables，不知道这个概念应该如何翻译，大意为，这是一个算子集合，对于简并态，我们不断地找一个新的算子，使得最后得到一个唯一的态，这个态对应唯一的值，它不再简并了。对于本来就是非简并的算子而言，它单独成这样一个集合。

The Density Matrix

这个部分偷偷看过了，笔记后续补回。

4.3. The Schreidinger Equation (Dotting Your i's and Crossing Your ​\hbar 's)

标题好笑 w

终于到假设四的讨论了/搓手。薛定谔方程！

Setting Up the Schrödinger Equation

关于方程的推导，本文中用的方法是从哈密顿量一路推过来，但笔者几乎没学过理论力学所以跳过了。但是会在另一篇文章里贴上一种从波动方程推起的方法，将波动方程量子化。

General Approach to the Solution

首先是哈密顿量和时间无关的情况。此时等式为

i\hbar| \dot{\psi}\rangle=H| \psi \rangle

我们要找到​H的特征向量和特征值，并根据这些来构造传播函数​U(t)。之后我们就可以写出

|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(0)\rangle

注意 ​|\Psi(0)\rangle 的初始值是可以直接得到的

\mid\dot{\psi}(0)\rangle=\frac{-i}{\hbar}H|\psi(0)\rangle

然后我们可以构造和时间无关的薛定谔方程

H|E\rangle=E|E\rangle

在这当中我们可以得到哈密顿算符的本征值 ​E。本征向量可以展开为

\mid\psi(t)\rangle=\sum|E\rangle\langle E|\psi(t)\rangle\equiv\sum a_{E}(t)|E\rangle

我们进行一些变形

0=(i\hbar \partial/\partial t-H)| \psi(t)\rangle=\sum (i\hbar\dot{a}_{E}-Ea_{E})| E \rangle\Rightarrow i\hbar\dot{a}_{E}=Ea_{E}

可以得到两个解

a_E(t)=a_E(0) e^{-iEt/\hbar}

或者

\langle E|\psi(t)\rangle=\langle E|\psi(0)\rangle e^{-iEt/\hbar}

因此波函数就可以得到了：

\mid\psi(t)\rangle=\sum_{E}\mid E\rangle\langle E|\psi(0)\rangle e^{-iE\iota/\hbar}

前面的那一部分对比上面的公式就可以得到传递函数 ​U(t)。
同时我们还要考虑一些稍微复杂一些的情况。首先考虑 ​E 是简并的：

U(t)=\sum_{\alpha}\sum_{E}|E, \alpha\rangle\langle E, \alpha| e^{-iEt/\hbar}

其次如果 ​E 是连续的，那么求和号改积分号。

此处其实还少点东西但是我不再往下写了因为其实有点没看懂前面的操作是什么意思（）

总之，注意 ​H 是厄米的，那么 ​U(t) 就是酉的，那么我们就可以把态函数 ​|\Psi(t)\rangle 的时间演化看作是在希尔伯特空间的旋转。​\langle\psi (t)|\psi (t)\rangle 的 norm 是不变的。

\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle\psi(0)|U^{\dagger}(t)U(t)|\psi(0)\rangle=\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle

我们可以构造旋转的的基，这样就会导致态是静止的而算子是和时间相关的。

好玩！

那么如果哈密顿算子和时间相关怎么办呢？
我们可以构造一个完全和时间无关的哈密顿量和一个非常小的和时间有关的哈密顿量。

H(t)=H^0+H^1(t)

没看明白姑且再次打住

Choosing a Basis for Solving Schriidinger's Equation

我们之前选择的基其实都是 ​X，那么如果是 ​P 呢？哈密顿量就得发生一些变化。

H=\frac{P^2}{2m}+\frac1{\cosh^2X}

然后还会变成这样：

\left[\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{\cosh^{2}\left(i\hbar d/dp\right)}\right]\psi_{E}(p)=E\psi_{E}(p)

不太符合直觉但是不代表不会被用到。
当然要说明的是即使以 ​X 为基，我们的确可以写出似乎现实世界可见的波，但是很多情况下是高维的，和经典的波是有差距的。

翻译补丁：​X 基指的是坐标表象。​P 基指的是动量表象。