也是开始考上研了哈...

1.1 质点运动的描述

位矢（位置矢量）

​\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}（在 ​Ox,Oy,Oz 坐标下）

大小

​|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

方向余弦

​\cos \alpha=\frac{x}{r},\cos \beta=\frac{y}{r},\cos \gamma=\frac{z}{r},
​\cos \alpha^{2}+\cos \beta^{2}+\cos \gamma^{2}=1

运动学方程

该方程为 ​t 的函数。
​\vec{r}=\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(y)\vec{k}

位移（位移矢量）

​\vec{AB}=\vec{r_{B}}-\vec{r_{A}}=\Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i}+\Delta y\vec{j}+\Delta z\vec{k}

大小

​|\Delta\vec{r}|=\sqrt{ (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2} }

注意 ​|\Delta\vec{r}| 与 ​\Delta|\vec{r}| 的区别

方向余弦

​\cos \alpha'=\frac{\Delta x}{r}\dots

速度

平均速度： ​\vec{v}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}
一般速度指的是瞬时速度，即：​\vec{v}=\lim_{ \Delta t \to 0 }\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}+v_{z}\vec{k}

速率

​|\vec{v}|=\lim_{\Delta t\rightarrow_{0}}\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}

加速度

这里也指瞬时加速度。
​\vec{a}=\lim_{t\rightarrow_{0}}\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}+a_{z}\vec{k}

大小

​|\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2} }

1.2 抛体运动

从原点开始计时，设 ​\theta_{0} 为抛射角，则物体任意时刻的速度为

\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}v_0\cos\theta_0\end{pmatrix}\boldsymbol{i}+\begin{pmatrix}v_0\sin\theta_0-gt\end{pmatrix}\boldsymbol{j}

物体的运动学方程为

\boldsymbol{r}=\int_0^t\boldsymbol{v}\mathrm{d}t=\left(v_0t\cos\theta_0\right)\boldsymbol{i}+\left(v_0t\sin\theta_0-\frac{1}{2}gt^2\right)\boldsymbol{j}

若以位矢为三角形一边重新分解，则可以得到运动学方程

r=\boldsymbol{\upsilon}_0t+\frac{1}{2}\boldsymbol{g}t^2

将运动学方程的两个分量式消去 ​t，考研得到抛体的轨迹方程

y=x\tan\theta_0-\frac{1}{2}\frac{gx^2}{v_0^2\cos^2\theta_0}

这是一条抛物线，令上式中 ​y=0，可以得到抛体的射程

x_{_m}=\frac{v_0^2\sin2\theta_0}{g}

可以得到抛体在 ​\theta_{0}=45\degree 时射程最大。

1.3 圆周运动和一般曲线运动

切向加速度和法向加速度

自然坐标系：一条沿着切线一条沿着法线。自然坐标系的方位是不断变化的。
将质点的速度写作 ​v=v\boldsymbol{e}_t，加速度为 ​\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v\boldsymbol{e}_{_t})=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{_t}+v\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{_t}}{\mathrm{d}t}。注意这里对两个求导。又由于 ​\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_t}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_n=\frac{\mathrm{d}\left(R\theta\right)}{R\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_n=\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_n=\frac{v}{R}\boldsymbol{e}_n，所以加速度最终为：

\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\boldsymbol{e}_{n}=\boldsymbol{a}_{t}+\boldsymbol{a}_{n}

前者为切向加速度，后者为法向加速度。
大小为 ​a=\sqrt{a_\mathrm{t}^2+a_\mathrm{n}^2}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{v^2}{R}\right)^2}，方向可以用它和 ​\boldsymbol{e}_{n} 的夹角 ​\phi 来表示 ​\varphi=\arctan\frac{a_{_t}}{a_{_n}}。
做匀速圆周运动时法向加速度为 0。

圆周运动的角量描述

角位置：质点某时刻所在位置的半径和 Ox 轴的夹角 ​\theta。
角位移：在 ​\Delta t 时间后质点移动了 ​\Delta \theta，称为角位移。单位 rad。
瞬时角速度：即角速度，当 ​\Delta t 趋向于 0 时角位移与时间之比 ​\omega=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}。单位 1/s 或 rad/s。
瞬时角加速度：即角加速度。同理。话不多说上公式 ​\alpha=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}。同理，单位加平方。
匀变速圆周运动：

\begin{aligned}&\omega=\omega_{0}+\alpha t\\&\theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}\\&\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\left(\theta-\theta_{0}\right)\end{aligned}

和普通的运动是相同的。

角量和线量的关系

当时间极短时，弦和弧视为等长，​\mid\overrightarrow{AB}\mid=R\Delta\theta，可推得：
速度：

v=R\omega

切向加速度：

a_{t}=R\alpha

向心加速度：

a_{_n}=\frac{v^2}{R}=v\omega=R\omega^2

一般平面曲线运动中的加速度

都可以分解为法向加速度和切向加速度。但是法向加速度中的 ​R 用曲率半径​\rho 代替。

曲率半径：什么是曲率和曲率半径？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/297501182/answer/2427885028

1.4相对运动

本质为参考系之间的变换关系。即位矢之间加加减减 ​r=R+r^{\prime}。
上式要满足：

  • 空间绝对性：空间两点的距离不管从哪个坐标系测量，结果都应相同。
  • 时间绝对性：时间与坐标系无关
    即经典力学下的绝对时空观。
    伽利略（坐标）变换式：
\begin{aligned}&x^{\prime}=x-ut&&x=x^{\prime}+ut\\&y^{\prime}=y&&y=y^{\prime}\\&z^{\prime}=z&&z=z^{\prime}\\&t^{\prime}=t&&t=t^{\prime}\end{aligned}

或者：

\left.\begin{array}{cc}\boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}t\\\\t^{\prime}=t\end{array}\right\}\quad\begin{array}{cc}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}^{\prime}+\boldsymbol{u}t\\\\t=t^{\prime}\end{array}

质点在甲坐标系下的速度或加速度等于乙坐标系以及质点在乙坐标系这两个两的矢量和。
若两个坐标系之间没有加速度，则质点在两个坐标系下的加速度是相同的。

1.5 牛顿运动定律/力学中的常见力

牛顿运动定律

牛顿第一定律

任何物体都保持静止的或沿一直线作匀速运动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。
又叫惯性定律。
惯性是物体所具有的保持其原有运动状态不变的特性。力是引起运动状态改变的原因。
惯性参考系（惯性系）：符合的（）
非惯性参考系（非惯性系）：不符合牛顿第一定律的参考系。

牛顿第二定律

运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
这里运动指动量。公式实际上为：

\frac{d\boldsymbol{P}}{dt}=\boldsymbol{F}

之前学过的为相对论不适用形式，可写为质点的运动方程：

\boldsymbol{F}=m\frac{d^{2}\boldsymbol{r}}{dt}

式子中的质量为平动惯性的量度，相同的力，质量越大，加速度越小。这个质量称为惯性质量

牛顿第三定律

两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等而方向方向相反。

力学中的常见力

万有引力

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

其中引力常量 ​G=6.67259\times10^{-11}N\cdot m^2/kg^2
式中质量为引力质量。惯性质量和引力质量不同，但是相差较小，可认为相等。

重力

重力的大小称为重量。
重力是万有引力的一个分量（另一分量为向心力）。

弹力

弹力的表现形式多样，以下列举三种。

正压力

又叫支持力，大小取决于相互挤压的程度。

绳中的张力

绳子各处张力不等，​F_{_{\mathrm{T1}}}-F_{_{\mathrm{T2}}}=\Delta ma 但当绳子没有加速度或者质量可以忽略时，张力可以认为相等且等于外力。

弹簧的弹力

胡克定律：

F=-kx

其中 ​k 为劲度系数或劲度。

摩擦力

两个互相接触的物理在沿接触面相对运动（滑动摩擦力）或有相对运动的趋势（静摩擦力）时，在接触面之间产生一对阻碍相对运动的力，叫摩擦力。
最大静摩擦力：​F_s=\mu_sF_N
滑动摩擦力：​F_{_k}=\mu_{_k}F_{_N}

基本相互作用

引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用。

1.6 伽利略相对性原理/非惯性系/惯性力