Simple Problems in One Dimension

本章我们来考虑一些简单的一维问题。

5.1. The Free Particle

自由粒子的薛定谔方程长这样：

i\hbar| \dot{\psi}\rangle=H| \psi\rangle=\frac{P^{2}}{2m}| \psi\rangle

这里后面直接等于了能量。虽然我暂时还不知道为什么要这么写不过没见过很炫。

然后和时间无关的薛定谔方程还是和以前一样。

H|E\rangle=\frac{P^{2}}{2m}|E\rangle=E|E\rangle

我们把试验解 |p\rangle 代进去并且稍微收拾一下：

\left(\frac{p^2}{2m}-E\right)|p\rangle=0

那么我们只能要求 p=\pm(2mE)^{1/2}。这样下来就意味着一个本征值 E 对应了两个正交本征态。

\begin{aligned}&|E,+\rangle=|p=(2mE)^{1/2}\rangle\\&|E,-\rangle=|p=-(2mE)^{1/2}\rangle\end{aligned}

线性叠加后：

|E\rangle=\beta|p=(2mE)^{1/2}\rangle+\gamma|p=-(2mE)^{1/2}\rangle

注意它仍然是 E 的本征态。And represents a single particle of energy E that can be caught moving either to the right or to the left with momentum (2 mE)^{1/2}!
传播函数是这样的

\begin{aligned} U(t)& =\int_{-\infty}^{\infty}|p\rangle\langle p| e^{-iE (p)t/\hbar} dp \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}|p\rangle\langle p| e^{-ip^{2}t/2m\hbar} dp \end{aligned}

对于 U 来说其实有意义的是时间差，放在态函数里也就只是零时间点的规定问题。绝对的时间对和时间有关的 V 关系更大一些。
为了理解，我们可以找一个特殊的态 \psi(x^{\prime},t^{\prime})=\delta(x^{\prime}-x_0^{\prime})，那么我们就有 \psi(x,t)=U(x,t;x_0',t')。可以看到，传播函数可以看作是一种振幅，总振幅是所有 x' 的贡献之和。

Time Evolution of the Gaussian Packet

高斯波包的时间演化。There is an unwritten law which says that the derivation of the free-particle propagator be followed by its application to the Gaussian packet. Let us follow this tradition.
但是我们姑且跳过一下这部分内容由于暂时不太方便（）等我算明白的时候再回来。

Some General Features of Energy Eigenfunctions

Consider now the energy eigenfunctions in some potential V(x). These obey

\psi^{\prime\prime}=-\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}\psi

这个式子是定态薛定谔方程捣鼓捣鼓出来的。第一次见定态薛定谔方程这么写/抖。其中把 x 看作是时间一样的东西，\psi 看作是位置，那么 \psi^{\prime\prime} 看作是加速度一样的东西。但是后面的内容就是在讲 \psi^{\prime\prime} 可能突变但是态函数的一阶导数作为 \psi^{\prime\prime} 的面积一般是连续的，当然也可以有一些特殊情况比如 V 变化无穷大，那么加速度也无穷大，此时速度可能突变毕竟此时无穷小面积有限，但是态函数是连续的。大多数教科书里都直接将这个作为解方程的前置条件直接给出的。
然后我们来看一些实际例子。

The Particle in a Box

无限深势阱问题属于是每个量子力学的入门问题了。解法老生常谈不作赘述。接下来我们对有限深势阱进行讨论并得出能量量子化的必然。