这一学期有原子物理的内容。算是少数的物理课程了，然而课时还被压榨，和量子力学放一块了。最近把上过的内容好好捋了捋，没写的部分那就是还没仔细算。

前言

乌云之一：黑体辐射

瑞利金斯公式的推导

有一说一我原子物理都学完了我都不知道当初课上推导的这个公式和后面的内容有什么关系……

之前的实验们

迈克尔逊干涉仪实验——对“以太”存在的否定。
J.J.汤姆孙——发现电负性物质，即电子。
密立根油滴实验——测出了​e的大小

​\alpha散射实验

这个实验是原子物理的开端，它否定了汤姆孙的原子模型。
学习这一章的内容可以将自己带入到当时的环境。可能是受限于实验条件，我们能知道的一个自变量就是​b。而另外一个量就是原子后面的探测头。

未完待续...这一块太久之前学的了。等之后复习一定补完。

波尔的模型

为了解释氢原子模型，波尔提出了量子化的概念。
在这之前，当时的模型和事实对比是有一些不符的地方的：

这里的坑之后再填因为没带课本（
但是此处有一句吐槽。波尔的模型虽然在氢原子上和实际数值相差不大，但是它其实对于波尔理论前就有的一些bug没有作出解释，比如“电子明明在绕核旋转却没有发出电磁波”这一点，我当时学习的时候百思不得其解最后多看了看书后发现就是波尔在含糊其辞……这个确实是没办法解释的，这也从另一方面表明波尔的理论还需要完善。

波尔对于量子化有三个假设：

  1. 轨道条件
  2. 频率条件
  3. 角动量量子化

氢原子总共有三点是有量子化特性的：

  1. 速度量子化
  2. 轨道半径量子化
  3. 能量量子化

根据波尔的理论，我们可以在氢原子上算出很多东西。

计算部分

更精确一点——两体问题

我们之前计算波尔的理论是建立在“原子核质量无限大”的假设中的，我们认为原子核不会受到影响。但是实际上当然不是这样。那么如果我们想要更加精确于是考虑原子核质量的时候，这个问题就会转化为我们熟悉的一个模型——两体模型。

原子物理里的量子力学

波尔都搞出量子数了，我们当然可以入门一下量子力学，不过这里面和后面内容最相关的其实是一个计算：中心力场的薛定谔方程。

中心力场的薛定谔方程

这里面计算非常的繁杂，我们主要记录几个后面还会用到或者见到的一些东西。这里只记录结论，具体计算请学习量子力学。
我们进行了一通分离常数之类的操作，最终得到两个方程，从方程当中我们可以得到一些等式。
分离常数​\alpha=l(l+1) ，这里的​l即角动量量子数。
​|m|\leq l,m=0,\pm 1,\dots,\pm l ，这里的​m即磁量子数。
​L=\sqrt{l(l+1)}\hbar
​\hat{L^2} 的本征函数​Y_{l,m}(\theta,\phi) 为球谐函数，宇称变换后差​(-1)^l ，因此，​l 为偶数时，​Y_{l,m}(\theta,\phi) 具有偶宇称，为奇数时有奇宇称。

碱金属原子

世界上当然不全是像氢原子这样简单的东西，我们稍微扩展一下，考虑氢原子的近亲——碱金属原子。碱金属原子的最外层电子数为1，虽然里面复杂了点，但是我们可以把里面一切的结构都叫做原子实，而最外层的那一个电子则是价电子。

极化与贯穿

原子实毕竟不是原子核，它是可以由于原子内正负电荷相互影响而被极化的。同时也会被乱跑的电子贯穿。

电的作用

我们这里首先来考虑原子内部的“电”的影响，也就是考虑电子受库仑场的作用。
波函数依赖于3个量子数​n,m,l，我们一个个细细道来。
​n是主量子数，能量的本征值只和​n有关，这就会导致简并现象的发生。因为​n相同，同一个能量本征值，​m,l却可以不同。

​l是角动量量子数，没什么好说的，和描述了角动量的取值。
​m是磁量子数，它出现在​\vec{L}_z=m\hbar ，它的取值和角动量在​z方向上的投影有关。每一个取值代表着一种投影，有上下两个方向，所以取值为从​0到​\pm l，间隔为1（毕竟是量子数嘛）。

这电的作用里出现了一个叫磁量子数的东西这是怎么回事呢？
笔者猜测大概是由于这个角动量代表什么呢，代表“电”转了起来，而电的转动其实和磁矩是等效的。
如此这般，我们就自然地来算算磁矩的作用。

磁的作用

由于我们研究的是电子在转圈圈，所以差不多想想或者严格证明我们都可以得到角动量与磁矩是反向的。将一切系数浓缩，我们可以得到：

\vec{\mu}=-\gamma \vec{L}_i

这里浓缩的​\gamma我们起名为磁旋比，其值为​\frac{e}{2m_e}。

这里我们要稍微歪个题算点稍微不太相干的，当磁矩在均匀外磁场中会受到力矩，进而影响角动量。即出现拉莫尔进动，公式表达为：

\vec{\omega}=\gamma\vec{B}

当磁矩和角动量联系起来后，磁矩也可以写出量子表示：

\vec{\mu}=-\gamma\vec{L}=-\sqrt{l(l+1)}\hbar\gamma=-\sqrt{l(l+1)}\mu_B

这里的​\mu_B也被称为波尔磁子，是最小的单元。
同样我们可以把磁矩在​z方向的分量写出来：

\vec{\mu}_z=-\gamma m\hbar=-m\mu_B

至此，电子绕核旋转的种种我们就基本算完了。
最后再总结一句，磁量子数​m决定了​z方向的取向，​m又和​l有关，一个​l对应​2l+1个取向。

电子自旋

都算完了，但是出问题了。这里我们要讲一个著名的实验——施特恩盖拉赫实验。
这个实验让银原子经过非均匀磁场，结果打出上下两条线……怎么事两条呢？我们之前说的好好的​2l+1呢？我们先表面不慌地按照现有理论计算一下。

计算部分

之后一定会补上的：3

为了解释实验现象，电子自旋被两个年轻人异想天开地提出来了。

补充1：注意得是非均匀磁场，前面也提到过，如果是均匀磁场，我们可以回忆一下电磁学里的经典名画，《方框线圈在匀强磁场中》，在均匀磁场中它们只会转圈圈！
补充2：其实这个实验用银原子做实验也属实巧合，换了其他原子可能就只能看到一条线三条线各种乱七八糟的东西了。
补充3：电子自旋并非像地球自转一样的运动，按照自转算下来电子表面点的运动速度是要超过光速的！这也就是当时电子自旋概念不被看好的原因。但是现在它已经是一个被验证过的、非常非常重要的概念了。

我们来仔细说说电子自旋的一些数值细节。
虽然说电子自旋是一种非常特殊的运动，但是作为我们感知它的第一步，我们来模仿角动量写点什么。
首先我们可以写出自旋角动量：

|\vec{s}|=\sqrt{s(s+1)}\hbar, s=\frac{1}{2}

这里自旋角动量量子数​s是一个半整数，而这是必须的，这也就是电子自旋区别于其他运动的地方。感兴趣可以去bilibili搜索到很棒的讲解视频！
同时我们也照猫画虎写下自旋角动量在​z方向上的分量：

s_z=\pm\frac{1}{2}\hbar

可以看到​z方向只有两种。
接下来，既然角动量有磁矩，我们自旋运动也得有！

于是我们按照搞角动量磁矩的思路，类比写出

\begin{align} \mu_{s}&=-\sqrt{ s(s+1) }\mu _{B}=-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\mu_{B}\\ \mu_{sz}&=-m_{s}\mu_{B}=\mp\frac{1}{2}\mu_{B} \end{align}

然而可惜的是，和事实并不相符。
为了符合实际，我们自信假设电子磁矩为一个玻尔磁子。这样算下来就是经典数值的两倍了。

\begin{align} \mu_{s}&=-\sqrt{ 3 }\mu_{B}\\ \mu_{sz}&=-m_{j}g_{j}\mu_{B} \end{align}

为了统一一些并且普适化，我们定义 ​g 因子，修正之前算出的对不上的磁矩角动量关系，可以得到

\begin{align} \\ \mu_{j}&=-\sqrt{ j(j-1) }g_{j}\mu_{B} \\ \mu_{jz}&=-m_{j}g_{j}\mu_{B} \end{align}

只考虑轨道角动量时 ​j=l,g_{s}=1，当只考虑自旋角动量时 ​j=s,g_{s}=2
这个式子会导致总角动量 ​\vec{j} 与总磁矩 ​\mu 不在一条直线上。这时候我们就要将磁矩在沿角动量和垂直角动量方向进行分解。在沿角动量方向上，即总磁矩 ​\mu_{j}，而在垂直角动量方向上平均不产生效果。

精细结构势能差推导

跳过但似乎是重要的。马上回来。见褚书。

多电子原子

氢原子的另外一个亲戚。
多电子原子里价电子数不是 1，因此会出现像电子组态这种东西。比如说 ​1s1s 就是一个电子组态。
处理这种问题有两种方案，​l-s 耦合和 ​j-j 耦合。前者是先将所有的 ​l 相加为一个 ​L，将所有的 ​s 相加为一个 ​S，然后进行正常计算。后者是将每一个 ​l 和 ​s 合为一个 ​j_{n}，再将所有的 ​j_{n} 合在一起。