第二章 运动的守恒量和守恒定律

2.1 质点系的内力外力、质心、质心运动定理

内力：质点系内各个质点之间相互作用。系统的内力之和总等于零，所以他们对整体运动不发生影响。
外力：系统外物体对系统内质点所施加的力。
质心：与质点系质量分布有关的一个代表点，他的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。

x_C = \sum m_i x_i / m, \quad y_C = \sum m_i y_i / m, \quad z_C = \sum m_i z_i / m

用矢量可以写为

\boldsymbol{r}_C = \sum m_i \boldsymbol{r}_i / m

也可以是积分

\boldsymbol{r}_C = \int \boldsymbol{r} d m/m

重心和质心是两个完全不同的概念，重心是地球对物体各部分引力的合力的作用点，两点不一定重合。

质心运动定理

质心的位矢

{\boldsymbol{r}_c} = \frac{\sum m_i \boldsymbol{r}_i}{\sum m_i} = \frac{m_1 \boldsymbol{r}_1 + m_2 \boldsymbol{r}_2 + \cdots + m_n \boldsymbol{r}_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}

质心的速度

\boldsymbol{v} _C = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}_C}{\mathrm{d} t} = \frac{\sum m_i \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}_i}{\mathrm{d} t}}{\sum m_i} = \frac{\sum m_i \boldsymbol{v}_i}{\sum m_i}

质心的加速度

\boldsymbol{a}_c = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_c}{\mathrm{d} t} = \frac{\sum m_i \boldsymbol{a}_i}{\sum m_i} = \frac{\sum m_i \boldsymbol{a}_i}{\sum m_i}

质心运动定理

\sum \boldsymbol{F}_i = m\boldsymbol{a}_C

2.2 动量定理、动量守恒定律

元冲量 ​\boldsymbol{F}dt，冲量 ​\boldsymbol{I}

\boldsymbol{I}=\int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F} \, \mathrm{d} t \, = m \boldsymbol{v}_2 \, - \, m \boldsymbol{v}_1 \, = \, \boldsymbol{p}_2 \, - \, \boldsymbol{p}_1

动量定理：物体在运动过程中所受合外力的冲量等于该物体动量的增量。
不管物体在运动过程中动量变化的细节如何，冲量的大小和方向总等于物体始末动量的矢量差。

质点系的动量定理

\sum\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}_i\mathrm{d}t=\sum_i\boldsymbol{p}_{i2}-\sum_i\boldsymbol{p}_{i1}=\sum_im_i\boldsymbol{v}_{i2}-\sum_im_i\boldsymbol{v}_{i1}

在某段时间内，作用在质点上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和等于质点系总动量的增量。这就是质点系的动量定理。

动量守恒定律

如果系统所受到的外力矢量和为零，则系统的总动量保持不变。
也有可以系统总动量不守恒，但是在某一方向上是守恒的。同时要注意所有质点的动量必须是对同一参考系的。

2.3 质点的角动量定理和角动量守恒定律

角动量是位矢 ​\boldsymbol{r} 和动量 ​\boldsymbol{p} 的矢积：

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}

由于力矩 ​\boldsymbol{M}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}，且由于 ​\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{F} 导致 ​\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{P}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{F} ，所以有

\boldsymbol{M}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}

即质点的角动量定理。意为：质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
当 ​\boldsymbol{L}=常量(\boldsymbol{M}=0) 时，即为质点的角动量守恒定律，也就是说，如果质点上的外力对某给定点的力矩为零，则质点对该点的角动量在运动过程中保持不变。

2.4 功、动能、动能定理

功

功是力在位移方向上的投影和此位移大小的乘积。

A = \left( F \cos \theta \right) \mid \Delta \boldsymbol{r} \mid

用矢量来表示：

A=\boldsymbol{F}\cdot \Delta\boldsymbol{r}

功是标量，没有方向，但有正负。
变力做功使用线积分表示

A = \int dA = \int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b F \cos \theta ds

功率：力在单位时间做的功。

P = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}

能量是作为各种运动形式的一般量度，是物体状态的单值函数。

动能定理

动能

E_k = \frac{1}{2}mv^2

动能定理

A = E_{k b} - E_{k a}

即合外力对物体做的功总等于物体动能的增量。动能定理的形式和惯性参考系的选择无关。
功是过程量，而动能是状态量，功是物体在某过程中能量改变的一种量度。

2.5 保守力、成对力的功、势能

保守力的功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关。如重力、弹性力、万有引力。质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所做的功为零。
而没有这种特性的力叫做非保守力。（废话
成对作用力与反作用力所做的总功只与作用力以及相对位移有关，而与每个质点各自的运动无关。任何一对作用力和反作用力所做的总功具有与参考系选择无关的不变性质。在任意参考系中，成对保守力所做的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关，这也是保守力的普遍定义。
势能

A_c = E_{p,a} - E_{p,b} = -\Delta E_p

成对保守力做的功等于系统势能的减少。势能是属于物体系统而并非物体的。势能差有绝对意义而势能只有相对意义。
重力势能

E_p = mgh

弹性势能

E_p = \frac{1}{2} k x^2

引力势能

E_{p} = -G \, \frac{mm'}{r}

三者都有不同的势能曲线。
保守力沿某座标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。

2.6 质点系的功能原理、机械能守恒定律

质点系的动能定理

A_e + A_i = \Delta E_k

说明系统的外力和内力做功的总和等于系统动能的增量。
质点系的功能原理

A_e + A_{id} = \Delta E_k + \Delta E_p = \Delta E

当系统状态变化时，它的机械能的增量等于外力做的功与非保守内力的功的总和。
机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守力做功，其他内力和一切外力都不做功，则系统内各物体的动能和势能可以互相转化，但机械能的总值不变。
能量守恒定律：一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。

2.7 碰撞

接触的是碰撞，没接触的是散射。
对心碰撞（正碰撞）：碰撞前速度在两球的中心连线上，那么碰撞后的速度也在这一连线上。
碰撞后两球的分离速度与接近速度成正比，与材料有关，称为恢复系数。分子为碰撞后分母为碰撞前。

e = \frac{v_2 - v_1}{v_{10} - v_{20}}

如果 ​e=0 则碰撞为完全非弹性碰撞，两球不分开，如果 ​e=1 则为完全弹性碰撞，机械能没有损失。